16.矩阵对角化-相似矩阵
16.1 相似矩阵
16.1.1 相似矩阵的定义
设存在n阶矩阵A、B，且存在可逆矩阵P，使：
\[\tag{1}
P\cdot A\cdot P^{-1}=B
\]
则称\(矩阵B是A的相似矩阵\)，或\(矩阵A与矩阵B相似\)。
称\(P\)为\(相似变换矩阵\)
称\(P\cdot A\cdot P^{-1}\)为对矩阵A进行的\(相似变换\)。
16.1.2 相关定理：矩阵A与B相似 \(\Rightarrow\) 矩阵A与B的特征值相同
证明过程如下：
\[设存在相似变换矩阵P，则由矩阵A与B相似可得：
\]
\[P\cdot A\cdot P^{-1}=B
\]
\[\Rightarrow |P\cdot A\cdot P^{-1}-\lambda \cdot E|=|B-\lambda \cdot E|
\]
\[由矩阵可逆的性质得：
\]
\[|P\cdot A\cdot P^{-1}- \lambda \cdot P\cdot E \cdot P^{-1}|=|B-\lambda \cdot E|
\]
\[|P \cdot P^{-1} \cdot (A-\lambda\cdot E)|=|B-\lambda \cdot E|
\]
\[由行列式相关性质得：
\]
\[|P\cdot P^{-1}|\cdot|(A-\lambda\cdot E)|=|B-\lambda \cdot E|
\]
\[则有：|(A-\lambda\cdot E)|=|(B-\lambda \cdot E)|
\]
\[故：矩阵A与B相似 \Rightarrow 矩阵A与B的特征值相同
\]
16.2 矩阵对角化
16.2.1 矩阵对角化的定义
设存在n阶矩阵A、相似变换矩阵P、n阶对角矩阵\(\Lambda\)，若对矩阵A进行相似变换，使矩阵A与矩阵\(\Lambda\)相似，则称矩阵A可对角化为矩阵\(\Lambda\)，即：
\[\tag{2}
P\cdot A\cdot P^{-1}=\Lambda
\]
16.2.2 矩阵对角化定理1：n阶矩阵A的特征值各不相等\(\Rightarrow\) n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\(\Leftrightarrow\)（n阶矩阵A能进行对角化\(\land\)矩阵P可逆）
由特征值/特征向量的【性质6】可得：n阶矩阵A的特征值各不相等 \(\Rightarrow\) n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。
下面证明：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\(\Leftrightarrow\)（n阶矩阵A能进行对角化\(\land\)矩阵P可逆）
\[
\]
\[
\]
\[
\]
\[设存在n阶矩阵A、相似变换矩阵P（P可逆）、n阶对角矩阵\Lambda，则：
\]
\[A能进行对角化 \Leftrightarrow P\cdot A\cdot P^{-1}=\Lambda
\]
\[由矩阵可逆的性质，得：
\]
\[P\cdot A=P \cdot \Lambda
\]
\[即：A \cdot
\begin {bmatrix}
p_1\\
p_2\\
...\\
p_n
\end {bmatrix}
=\Lambda \cdot
\begin {bmatrix}
p_1\\
p_2\\
...\\
p_n
\end {bmatrix}
\]
\[A
\cdot
\begin {bmatrix}
p_1\\
p_2\\
...\\
p_n
\end {bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda_{11}\\
& \lambda_{22}\\
&& \lambda_{33}\\
&&&\lambda_{44}\\
&&&&...\\
&&&&&\lambda_{nn}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
p_1\\
p_2\\
...\\
p_n
\end {bmatrix}
\]
\[A
\cdot
\begin {bmatrix}
p_1\\
p_2\\
...\\
p_n
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
p_1\\
p_2\\
...\\
p_n
\end {bmatrix}
\cdot
\lambda_{ii}(i=1,2,3,...,n)
\]
\[由特征值/特征向量相关定义可得：
\]
\[上式中，P即为矩阵A的特征向量，而\lambda_{ii}即为矩阵A的特征值。
\]
\[由上可得：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\Rightarrow（n阶矩阵A能进行对角化\land矩阵P可逆）
\]
\[反之，若相似变换矩阵P可逆，则有：（n阶矩阵A能进行对角化\land矩阵P可逆）\Rightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量
\]
\[即：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量\Leftrightarrow（n阶矩阵A能进行对角化\land矩阵P可逆）
\]
16.2.3 矩阵对角化定理2：设存在对称矩阵A，且A具有两个特征值\(\lambda_1、\lambda_2\)，两个特征向量\(p_1、p_2\)，则有：\(\lambda_1\neq \lambda_2 \Rightarrow [p_1,p_2]=0\)
16.2.4 矩阵对角化求解示例
设存在以下对称矩阵：
\[A=
\begin {bmatrix}
0&-1&1\\
-1&0&1\\
1&1&0
\end{bmatrix}
\]
若存在对角矩阵\(\Lambda\)、正交阵\(P\)，使：\(P\cdot A\cdot P^{-1}=\Lambda\)
求此对角矩阵\(\Lambda\)、正交阵\(P\)。
求解过程如下：
\[设对称矩阵A的特征值为\lambda，特征向量为x
\]
\[则有：|A-\lambda \cdot E|=
\]
\[\begin {vmatrix}
-\lambda&-1&1\\
-1&-\lambda&1\\
1&1&-\lambda
\end{vmatrix}
\stackrel{r_1 -r_2}
\Longrightarrow
\begin {vmatrix}
1-\lambda&\lambda-1&0\\
-1&-\lambda&1\\
1&1&-\lambda
\end{vmatrix}
\stackrel{c_2 +c_1}
\Longrightarrow
\begin {vmatrix}
1-\lambda&0&0\\
-1&-(\lambda+1)&1\\
1&2&-\lambda
\end{vmatrix}=0
\]
\[行列式按第1行展开有：
\]
\[(1-\lambda)\cdot[\lambda \cdot (\lambda+1)-2]
\]
\[=(1-\lambda)\cdot[\lambda^2+\lambda-2]
\]
\[=(1-\lambda)\cdot(\lambda-1)(\lambda+2)
\]
\[解得：\lambda_1=\lambda_2=1，\lambda_3=-2
\]
\[① 对于\lambda_1=\lambda_2=1，有：
\]
\[(A-\lambda \cdot E)=
\begin {bmatrix}
-1&-1&1\\
-1&-1&1\\
1&1&-1
\end{bmatrix}
\]
\[对上式进行初等行变换，有：
\]
\[(A-\lambda \cdot E)=
\begin {bmatrix}
-1&-1&1\\
-1&-1&1\\
1&1&-1
\end{bmatrix}
\stackrel{r_1 - r_2}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
0&0&0\\
-1&-1&1\\
1&1&-1
\end{bmatrix}
\stackrel{r_1 \leftrightarrow r_3}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
1&1&-1\\
-1&-1&1\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\stackrel{r_2 + r_1}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
1&1&-1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
\[则有：
(A-\lambda \cdot E)\cdot x=
\begin {bmatrix}
1&1&-1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
\]
\[由上式得：x_1+x_2-x_3=0
\]
\[则有：\lambda_1对应的基础解系\xi_1=
\begin {bmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{bmatrix}
\cdot k (k \in R,k \neq 0)
\]
\[\lambda_2对应的基础解系\xi_2=
\begin {bmatrix}
0\\
1\\
1
\end{bmatrix}
\cdot k (k \in R,k \neq 0)
\]
\[将\xi_1、\xi_2正交化为\eta_1、\eta_2，则有：
\]
\[\eta_1=\xi_1=
\begin {bmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{bmatrix}
\]
\[\eta_2=\xi_2-\eta_1 \cdot \frac{[\eta_1,\xi_2]}{[\eta_1,\eta_1]}
=\begin {bmatrix}
0\\
1\\
1
\end{bmatrix}+\frac{1}{2} \cdot \begin {bmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{2} \cdot
\begin {bmatrix}
1\\
1\\
2
\end {bmatrix}
\]
\[将\eta_1、\eta_2单位化为p_1、p_2，则有：
\]
\[p_1=\frac{\eta_1}{||\eta_1||}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot
\begin {bmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{bmatrix}
\]
\[p_2=\frac{\eta_2}{||\eta_2||}=\frac{1}{2} \cdot
\begin {bmatrix}
1\\
1\\
2
\end {bmatrix}
\cdot
\frac{2}{\sqrt{6}}
=
\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot
\begin {bmatrix}
1\\
1\\
2
\end {bmatrix}
\]
\[②对于\lambda_3=-2，有：
\]
\[(A-\lambda\cdot E)
=
\begin {bmatrix}
2&-1&1\\
-1&2&1\\
1&1&2
\end{bmatrix}
\]
\[对上式进行初等行变换，有：
\]
\[\begin {bmatrix}
2&-1&1\\
-1&2&1\\
1&1&2
\end{bmatrix}
\stackrel{r_1 + r_2}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
1&1&2\\
-1&2&1\\
1&1&2
\end{bmatrix}
\stackrel{r_1 - r_3}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
0&0&0\\
-1&2&1\\
1&1&2
\end{bmatrix}
\stackrel{r_3 + r_2}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
0&0&0\\
-1&2&1\\
0&3&3
\end{bmatrix}
\stackrel{r_1 \leftrightarrow r_3}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
0&3&3\\
-1&2&1\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\stackrel{r_2 - \frac{2}{3}r_1}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
0&3&3\\
-1&0&-1\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
\[\stackrel{\frac{1}{3}r_1}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
0&1&1\\
-1&0&-1\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\stackrel{-1r_2}
\Longrightarrow
\begin {bmatrix}
0&1&1\\
1&0&1\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
\[则：(A-\lambda \cdot E)\cdot x=
\begin {bmatrix}
0&1&1\\
1&0&1\\
0&0&0
\end{bmatrix}\cdot
\begin {bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
\]
\[由上式得：
\begin{cases}
x_2+x_3=0\\
x_1+x_3=0
\end{cases}
\]
\[则\lambda_3对应的基础解系\xi_3可为：
\xi_3=
\begin {bmatrix}
-1\\
-1\\
1
\end{bmatrix}
\]
\[将\xi_3单位化为p_3，有：
\]
\[p_3=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\begin {bmatrix}
-1\\
-1\\
1
\end{bmatrix}
\]
\[由①②中求解得到的p_1，p_2，p_3可得：
\]
\[正交阵P=(p_1,p_2,p_3)=
\begin {bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{6}}{6}&-\frac{\sqrt{3}}{3}\\
-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{6}}{6}&-\frac{\sqrt{3}}{3}\\
0&\frac{\sqrt{6}}{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}
\end{bmatrix}
\]
\[由矩阵对角化定理1有：A\cdot P= \Lambda \cdot P，且\Lambda为A的特征向量
\]
\[则有：
\Lambda=
\begin{bmatrix}
\lambda_{1}&0&0\\
0& \lambda_{2}&0\\
0&0& \lambda_{3}\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0& 1&0\\
0&0& -2\\
\end{bmatrix}
\]
\[\eta_2=
\frac{1}{2} \cdot
\begin {bmatrix}
1\\
1\\
2
\end {bmatrix}
\]